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vraies, et la troisième qui est fausse, à savoir F L. Et de ces deux vraies c’est
g k la plus petite qu’il faut prendre pour la ligne N Q qui étoit cherchée ; car
l’autre G K est égale à N V la subtendue de la troisième partie de l’arc N V P ,
qui avec l’autre arc N Q P achève le cercle. Et la fausse F L est égale à ces deux
ensembles Q N et N V , ainsi qu’il est aisé à voir par le calcul.
Il seroit superflu que je m’arrêtasse à donner ici d’autres exemples, car tous
Que tous les
problèmes solides
se peuvent réduire
à ces deux
constructions.
les problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point qu’on n’a
aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu’elle sert à
trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois
parties égales, ainsi que vous connoîtrez en considérant que leurs difficultés
peuvent toujours être comprises en des équations qui ne montent que jusques
au carré de carré ou au cube, et que toutes celles qui montent au carré de carré se
réduisent au carré par le moyen de quelques autres qui ne montent que jusques
au cube, et enfin qu’on peut ôter le second terme de celles-ci ; en sorte qu’il n’y
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en a point qui ne se puisse réduire à quelqu’une de ces trois formes :
z3 = - pz + q,
z3 = + pz + q,
z3 = + pz - q.
Or si on a z3 = - pz + q, la règle dont Cardan attribue l’invention à un
nommé Scipio Ferreus nous apprend que la racine est
C. +
-
C. -
1
1
1
q +
q2 +
p3
2
4
27
1
1
q +
q2 +
2
4
1
p3.
27
Comme aussi lorsqu’on a z3 = +pz +q, et que le carré de la moitié du dernier
terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième,
une pareille règle nous apprend que la racine est
C. +
+
C. +
1
1
1
q +
q2 -
p3
2
4
27
1
1
q -
q2 -
2
4
1
p3.
27
D’où il paroît qu’on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se
réduisent à l’une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour
autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données,
c’est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et
l’unité.
Puis, si on a z3 = + pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme ne
soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue
pénultième,
en supposant le cercle N QP V dont le demi-diamètre N O soit
p, c’est-à-dire
la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l’unité, et
3q
supposant aussi la ligne N P inscrite dans ce cercle qui soit
, c’est-à-dire qui
p
soit à l’autre quantité donnée q comme l’unité est au tiers de p, il ne faut que
diviser chacun des deux arcs N Q P et N V P en trois parties égales, et on aura
N Q la subtendue du tiers de l’un, et N V la subtendue du tiers de l’autre, qui
jointes ensemble composeront la racine cherchée.
Enfin si on a z3
pz - q, en supposant derechef le cercle N Q P V dont
1
3q
le rayon N O soit
p, et l’inscrite N P soit
, N Q la subtendue du tiers
3
p
de l’arc N Q P sera l’une des racines cherchées, et N V la subtendue du tiers
de l’autre arc sera l’autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier terme
n’est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième ;
car s’il étoit plus grand, la ligne N P ne pourroit être inscrite dans le cercle,
à cause qu’elle seroit plus longue que son diamètre, ce qui seroit cause que les
deux vraies racines de cette équation ne seroient qu’imaginaires, et qu’il n’y en
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du
1
3
=
C.
+
C.
1
1
1
q +
q2 -
p2
2
4
27
1
1
1
q -
q2 -
p2.
2
4
27
La façon
d’exprimer la
valeur de toutes
les racines des
cubiques, et
ensuite de toutes
celles qui ne
montent que
jusques au carré
de carré.
auroit de réelle que la fausse, qui, suivant la règle de Cardan, seroit
côté des cubes.
Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de toutes les équations
qui montent jusques au carré de carré par les règles ci-dessus expliquées ; en
sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière : car enfin la nature
de ces racines ne permet pas qu’on les exprime en termes plus simples, ni qu’on
les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus
facile.
Il est vrai que je n’ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde pour
oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l’est pas. Mais si on prend
garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la
considération des géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui est de
chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien qu’il n’est pas
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Au reste, il est à remarquer que cette façon d’exprimer la valeur des racines
par le rapport qu’elles ont aux côtés de certains cubes dont il n’y a que le contenu
qu’on connoisse, n’est en rien plus intelligible ni plus simple que de les exprimer
par le rapport qu’elles ont aux subtendues de certains arcs ou portions de cercles
dont le triple est donné ; en sorte que toutes celles des équations cubiques qui
ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou
plus clairement par la façon ici proposée.
Car si, par exemple, on pense connoître la racine de cette équation
z3 = - qz + p,
à cause qu’on sait qu’elle est composée de deux lignes dont l’une est le côté
1
d’un cube duquel le contenu est [ Pobierz całość w formacie PDF ]