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"b1 "b0
= c2 + s c3, = p c3
"s "s
Daher die Jacobi-Matrix:


"b0 "b0

p c3 c2


"s "p





J(s, p) = =

c + s c3 c3

"b1 "b1
2
"s "p
Algorithmus 3.6.1 (von Bairstow).
48 Polynome
n
Gegeben: Koeffizientenvektor (a0, . . . , an) " n+1 von pn(x) = akxk,
k=0
Nherung  an eine komplexe Nullstelle x" von pn,  > 0.
Gesucht: Nherungen k, k an x", x" mit |k - x"|
Start: s0 := 2 Re , p0 := - ||2,
Iteration: Fr k = 0, 1, 2, . . . :

pk c3 k c2 k



J(sk, pk) =

c2 k + sk c3 k c3 k
c2 k = c2(sk, pk), c3 k = c3(sk, pk) . . .
k b0(sk,pk)
Sei (k, k) Lsung von J(sk, pk) =
k b1(sk,pk)
s2
sk+1
sk+1 = sk + k
k+1
und ! k+1, k+1 = i -pk+1 -
pk+1 = pk + k
2 4
Wenn n |k+1 - k|
49
KAPITEL 4
Direkte Lsung von linearen
Gleichungssystemen
A x = b A : m n-Matrix b : ein m-Tupel
a11 x1 + + a1n xn - b1 = 0
a21 x1 + + a2n xn - b2 = 0
. .
. .
. .
am1 x1 + + amn xn - bm = 0
Beispiel. y (x) + y(x) = f (x), x " [0, 1]. Randbedingungen: y(0) = y(1) = 0. Numerische Lsung mit
Diskretisierung von [1, 0].
1
xk = k h, 0 d" k d" N, h =
N
0 h 2h 3h 4h 1
Abbildung 4.1: Einteilung
Ziel: Finde y1, . . . , yN-1 so, da yk H" y(xk), k = 1, . . . , N - 1 y0 = 0, yN = 0
y(x + h) - 2y(x) + y(x - h)
y (x) H"
h2
y (xk) + y(xk) = f (xk), k = 1, . . . , N - 1. Nherungsweise
yk+1 - 2xk + yk-1
+ yk = f (xk), k = 1, . . . , N - 1
h2
-2 + h2 1 0


y1 f (x1)






1 -2 + h2 1










0 1


! = h2







.

.


.
1



. . . . . 1 -2 + h2 yN-1 f (xN-1)
50 Direkte Lsung von linearen Gleichungssystemen
4.1 Das Gausche Eliminationsverfahren
Definition 4.1.1. Eine Matrix der Gestalt

1





.
.

.





1





. . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . .





1





. . die Nullen sind in der i-ten und k-
.

. . .
Pik =

.
. .

ten Zeile



1




. . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . .





1





.

.
.




1
heit Permutationsmatrix.
Bemerkung.
x1


.

.

x1 .



xi-1





xk





xi+1







.



Pik = . Vertauschung von i-ter und k-ter Komponente




.





xk-1





xi




xk+1


xn

.

.
.
xn
(x1, . . . , xn) Pik = (x1, . . . , xi-1, xk, xi+1, . . . , xk-1, xi, xk+1, . . . , xn)
Pik Pik = E (Einheitsmatrix)
Definition 4.1.2. Eine Matrix des Typs Li " nn

1 0





0 1





0 1




Li =

li+1,i 1




.
.

. .
.
.



0 ln i . . . . . 1
heit elementare untere Dreiecksmatrix.
Bemerkung.

1 0





0 1




0 1




L-1 =

i -li+1,i 1




.
.

. .
.
.



0 -ln i . . . . . 1
Satz 4.1.1. Jede untere Dreiecksmatrix mit normierter Diagonale, aber

1 0





l21 1




L =
.
.
. .

.
.


ln1 1
4.1 Das Gausche Eliminationsverfahren 51
lt sich als Produkt von elementaren unteren Dreiecksmatrizen schreiben L = L1 L2 Ln-1 mit

1 0





0 1




0 1




Li = i = 1, . . . , n - 1

li+1,i 1




.
.

. .
.
.



0 ln i . . . . . 1
Beweis.

1 0





.


.
l21 .





1



L1 Lk =

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